Метод Крамера опис. Вирішити систему рівнянь методами Крамера, Гауса і за допомогою оберненої матриці
Метод Крамера або так зване правило Крамера – це спосіб пошуку невідомих величин з систем рівнянь. Його можна використовувати тільки якщо число шуканих значень еквівалентно кількості алгебраїчних рівнянь в системі, тобто утворена з системи основна матриця повинна бути квадратної і не містити нульових рядків, а також якщо її детермінант не повинен бути нульовим.
теорема Крамера Якщо головний визначник $ D $ основної матриці, складеної на основі коефіцієнтів рівнянь, не дорівнює нулю, то система рівнянь сумісна, причому рішення у неї існує єдине. Рішення такої системи обчислюється через так звані формули Крамера для розв’язання систем лінійних рівнянь: $ x_i = \ frac
У чому полягає метод Крамера
Суть методу Крамера в наступному:
- Щоб знайти рішення системи методом Крамера, насамперед обчислюємо головний визначник матриці $ D $. Коли обчислений детермінант основної матриці при підрахунку методом Крамера виявився дорівнює нулю, то система не має жодного рішення або має нескінченну кількість рішень. В цьому випадку для знаходження спільної або будь-якого базисного відповіді для системи рекомендується застосувати метод Гаусса.
- Потім потрібно замінити крайній стовпець головною матриці на стовпець вільних членів і вирахувати визначник $ D_1 $.
- Повторити те ж саме для всіх стовпців, отримавши визначники від $ D_1 $ до $ D_n $, де $ n $ – номер крайнього праворуч стовпчика.
- Після того як знайдені всі детермінанти $ D_1 $. $ D_n $, можна вирахувати невідомі змінні за формулою $ x_i = \ frac
$.
Прийоми для обчислення визначника матриці
Для обчислення визначника матриці з розмірністю більше ніж 2 на 2, можна використовувати кілька способів:
- Правило трикутників, або правило Саррюс, нагадує це ж правило. Суть методу трикутників в тому, що при обчисленні визначника твори всіх чисел, з’єднаних на малюнку червоною лінією праворуч, записуються зі знаком плюс, а все числа, з’єднані аналогічним чином на малюнку зліва – зі знаком мінус. B то, і інше правило підходить для матриць розміром 3 х 3. У разі ж правила Саррюс спочатку листується сама матриця, а поруч з нею поруч переписуються ще раз її перший і другий стовпець. Через матрицю і ці додаткові стовпці проводяться діагоналі, члени матриці, що лежать на головній діагоналі або на паралельній їй записуються зі знаком плюс, а елементи, що лежать на побічної діагоналі або паралельно їй – зі знаком мінус.
Малюнок 1. Правило трикутників для обчислення визначника для методу Крамера
- За допомогою методу, відомого як метод Гаусса, також іноді цей метод називають зниженням порядку визначника. В цьому випадку матриця перетвориться і приводиться до трикутного вигляду, а потім перемножуються всі числа, які стоять на головній діагоналі. Слід пам’ятати, що при такому пошуку визначника можна домножать або ділити рядки або стовпці на числа без винесення їх як множника або дільника. У разі пошуку визначника можливо тільки вичитати і складати рядки і стовпи між собою, попередньо помноживши віднімається рядок на ненульовий множник. Також при кожній перестановці рядків або стовпців матриці місцями слід пам’ятати про необхідність зміни кінцевого знака у матриці.
- При вирішенні методом Крамера СЛАР з 4 невідомими, найкраще буде застосовувати саме метод Гаусса для пошуку і знаходження визначників або опредляет детермінант через пошук миноров.
Рішення систем рівнянь методом Крамера
Застосуємо метод Крамера для системи з 2 рівнянь і двома шуканими величинами:
$ \ Begin
Відобразимо її в розширеній формі для зручності:
$ A = \ begin
Знайдемо визначник основної матриці, також званий головним визначником системи:
$ D = \ begin
Якщо головний визначник не дорівнює нулю, то для вирішення Слау методом Крамера необхідно вирахувати ще парочку визначників від двох матриць з заміненими стовпцями основної матриці на сходинку вільних членів:
$ D_1 = \ begin
$ D_2 = \ begin
Тепер знайдемо невідомі $ x_1 $ і $ x_2 $:
Метод Крамера для розв’язання СЛАР із використанням головного датчика 3 порядку (3 x 3) і трьома шуканими.
Вирішіть систему рівнянь:
$ \ Begin
Порахуємо головний детермінант матриці користуючись вищевикладеним під пунктом номер 1 правилом:
$ D = \ begin
А тепер три інших детермінанта:
$ D_1 = \ begin
$ D_2 = \ begin
$ D_3 = \ begin
Знайдемо шукані величини:
Метод Крамера заснований на використанні визначників в рішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес вирішення.
Метод Крамера може бути використаний в рішенні системи стількох лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний в рішенні, якщо ж дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний в рішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.
визначення . Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи і позначається (дельта).
виходять шляхом заміни коефіцієнтів при відповідних невідомих вільними членами:
;
.
теорема Крамера . Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а в чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів при цьому невідомому вільними членами. Ця теорема має місце для системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.
Приклад 1. Вирішити систему лінійних рівнянь:
згідно теоремі Крамера маємо:
Отже, рішення системи (2):
онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
Три випадки при вирішенні систем лінійних рівнянь
Як випливає з теореми Крамера , При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:
Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення
(Система сумісна і певні)
Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень
(Система сумісна і невизначена)
** ,
тобто коефіцієнти при невідомих і вільні члени пропорційні.
Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має
Отже, система m лінійних рівнянь з n змінними називається несумісною , Якщо у неї немає жодного рішення, і спільної , Якщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система рівнянь, що має тільки одне рішення, називається певної , А більш одного – невизначеною .
Приклади розв’язання систем лінійних рівнянь методом Крамера
Нехай дана система
.
На підставі теореми Крамера
де
–
визначник системи. Решта визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:
.
Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3 Х 3 і 4 Х 4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або декількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то в визначнику відповідні їм елементи дорівнюють нулю! Такий наступний приклад.
Приклад 3. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Крамера:
.
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Подивіться уважно на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники при невідомих
За формулами Крамера знаходимо:
Отже, рішення системи – (2; -1; 1).
Для перевірки рішень систем рівнянь 3 Х 3 і 4 Х 4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
На початок сторінки
Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом
Як вже говорилося, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих нерівні нулю, система несумісна, тобто рішень не має. Проілюструємо наступним прикладом.
Приклад 6. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певні, або несумісна, тобто не має рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих
Визначники при невідомих нерівні нулю, отже, система несумісна, тобто не має рішень.
Для перевірки рішень систем рівнянь 3 Х 3 і 4 Х 4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.
У завданнях на системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім букв, що позначають змінні, є ще й інші букви. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь і систем рівнянь приводять завдання на пошук загальних властивостей будь-яких явищ і предметів. Тобто, винайшли ви який-небудь новий матеріал чи пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості примірника, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних – літери. За прикладами далеко ходити не треба.
Наступний приклад – на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних, і букв, що позначають деякий дійсне число.
Приклад 8. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Рішення. Знаходимо визначник системи:
Знаходимо визначники при невідомих
Розглянемо систему 3-х рівнянь з трьома невідомими
Використовуючи визначники 3-го порядку, рішення такої системи можна записати в такому ж вигляді, як і для системи двох рівнянь, тобто
(2.4)
Це є правило Крамера рішення системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими .
Приклад 2.3. Вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера:
Рішення . Знаходимо визначник основної матриці системи
Оскільки 0, то для знаходження рішення системи можна застосувати правило Крамера, але попередньо обчислимо ще три визначника:
Отже, рішення знайдено правильно.
Правила Крамера, отримані для лінійних систем 2-го і 3-го порядку, наводять на думку, що такі ж правила можна сформулювати і для лінійних систем будь-якого порядку. Дійсно має місце
Теорема Крамера. Квадратна система лінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці системи (0) має одне і тільки одне рішення і це рішення обчислюється за формулами
(2.5)
де – визначник основної матриці , i – визначник матриці , отриманої з основної, заміною i -го стовпця стовпцем вільних членів .
Відзначимо, що якщо = 0, то правило Крамера не застосовується. Це означає, що система або не має взагалі рішень, або має нескінченно багато рішень.
Сформулювавши теорему Крамера, природно виникає питання про обчислення визначників вищих порядків.
2.4. Визначники n-го порядку
додатковим мінор M ij елемента a ij називається визначник, отриманий із даного шляхом викреслювання i го рядка і j -го стовпчика. алгебраїчним доповненням A ij елемента a ij називається мінор цього елемента, взятого зі знаком (-1) i + j , Тобто A ij = (–1) i + j M ij .
Наприклад, знайдемо мінори та алгебраїчні доповнення елементів a 23 і a 31 визначника
Використовуючи поняття алгебраїчного доповнення можна сформулювати теорему про розкладання визначника n -го порядку по рядку або стовпцю .
Теорема 2.1. визначник матриці A дорівнює сумі творів всіх елементів деякого рядка (або стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:
(2.6)
Дана теорема лежить в основі одного з основних методів обчислення визначників, т.зв. методу пониження порядку . В результаті розкладання визначника n -го порядку за будь-якої рядку або стовпцю, виходить n визначників (n -1) -го порядку. Щоб таких визначників було менше, доцільно вибирати ту рядок або стовпець, в якій найбільше нулів. На практиці формулу розкладання визначника зазвичай записують у вигляді:
тобто алгебраїчні доповнення записують в явному вигляді через мінори.
Приклади 2.4. Обчислити визначники, попередньо розклавши їх по будь-якої рядку або стовпцю. Зазвичай в таких випадках вибирають такий стовпець або рядок, в якій найбільше нулів. Обрану рядок або стовпець будемо позначати стрілкою.
2.5. Основні властивості визначників
Розкладаючи визначник з якої-небудь рядку або стовпцю, ми отримаємо n визначників (n -1) -го порядку. Потім кожен з цих визначників (n -1) -го порядку також можна розкласти в суму визначників (n -2) -го порядку. Продовжуючи цей процес, можна дійти до визначників 1-го порядку, тобто до елементів матриці, визначник якої обчислюється. Так, для обчислення визначників 2-го порядку доведеться обчислити суму двох доданків, для визначників 3-го порядку – суму 6 доданків, для визначників 4-го порядку – 24 доданків. Число доданків буде різко зростати в міру збільшення порядку визначника. Це означає, що обчислення визначників дуже високих порядків стає досить трудомістким завданням, непосильним навіть для ЕОМ. Однак обчислювати визначники можна і по-іншому, використовуючи властивості визначників.
властивість 1 . Визначник не зміниться, якщо в ньому поміняти місцями рядки і стовпці, тобто при транспонировании матриці :
.
Дана властивість свідчить про рівноправність рядків і стовпців визначника. Інакше кажучи, будь-яке твердження про шпальтах визначника справедливо і для його рядків і навпаки.
властивість 2 . Визначник змінює знак при перестановці двох рядків (стовпців).
слідство . Якщо визначник має два однакові рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.
властивість 3 . Загальний множник всіх елементів в будь-якої рядку (стовпці) можна винести за знак визначника .
слідство . Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю .
властивість 4 . Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця), додати елементи іншого рядка (стовпця), помноженої на якесь число .
властивість 5 . Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників матриць:
Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, яка кількість незалежних змінних, тобто має вигляд
Такі системи лінійних рівнянь називаються квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів при незалежних змінних системи (1.5), називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою буквою D. Таким чином,
. (1.6)
Якщо в головному визначнику довільний (j -ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще n допоміжних визначників:
(j = 1, 2, …, n ). (1.7)
правило Крамера рішення квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і притому єдине рішення, яке можна знайти за формулами:
(1.8)
Приклад 1.5. Методом Крамера вирішити систему рівнянь
.
Обчислимо головний визначник системи:
Так як D¹0, то система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):
Дії над матрицями
1. Множення матриці на число. Операція множення матриці на число визначається наступним чином.
2.Для того щоб помножити матрицю на число, потрібно все її елементи помножити на це число. Тобто
. (1.9)
Приклад 1.6. .
Додавання матриць.
Дана операція вводиться тільки для матриць одного і того ж порядку.
Для того щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншого матриці:
(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності і коммутативности.
Приклад 1.7. .
Множення матриць.
Якщо число стовпців матриці А збігається з числом рядків матриці В , То для таких матриць вводиться операція множення:
2
Таким чином, при множенні матриці А розмірності m ´n на матрицю В розмірності n ´k ми отримуємо матрицю З розмірності m ´k . При цьому елементи матриці З обчислюються за такими формулами:
Завдання 1.8. Знайти, якщо це можливо, твір матриць AB і BA :
Рішення. 1) Для того щоб знайти твір AB , Необхідно рядка матриці A помножити на стовпці матриці B :
2) Твір BA не існує, т. к. кількість стовпців матриці B не збігається з кількістю рядків матриці A .
Зворотна матриця. Рішення систем лінійних рівнянь матричним способом
матриця A – 1 називається оберненою до квадратної матриці А , Якщо виконано рівність:
де через I позначається одинична матриця того ж порядку, що і матриця А :
.
Для того щоб квадратна матриця мала зворотний необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля. Обернену матрицю знаходять за формулою:
, (1.13)
де A ij – алгебраїчні доповнення до елементів a ij матриці А (Зауважимо, що алгебраїчні доповнення до рядків матриці А розташовуються в зворотній матриці у вигляді відповідних стовпців).
Приклад 1.9. Знайти обернену матрицю A – 1 до матриці
.
Обернену матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n = 3 має вигляд:
.
знайдемо det A = | A | = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 – 3 × 3 × 3 – 1 × 5 × 4 – 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 – 27 – 20 – 32 = – 1. Так як визначник вихідної матриці відмінний від нуля, то зворотна матриця існує.
1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij :
Для зручності знаходження зворотної матриці, алгебраїчні доповнення до рядків вихідної матриці ми розташували в відповідні стовпці.
З отриманих алгебраїчних доповнень складемо нову матрицю і розділимо її на визначник det A . Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:
Квадратні системи лінійних рівнянь з відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою оберненої матриці. Для цього систему (1.5) записують в матричному вигляді:
де
Помноживши обидві частини рівності (1.14) зліва на A – 1, ми отримаємо рішення системи:
, звідки
Таким чином, для того щоб знайти рішення квадратної системи, потрібно знайти зворотну матрицю до основної матриці системи і помножити її справа на матрицю-стовпець вільних членів.
Завдання 1.10. Вирішити систему лінійних рівнянь
за допомогою оберненої матриці.
Рішення. Запишемо систему в матричному вигляді:,
де – основна матриця системи, – стовпець невідомих і – стовпець вільних членів. Так як головний визначник системи , То основна матриця системи А має зворотну матрицю А -1. Для знаходження оберненої матриці А -1, обчислимо алгебраїчні доповнення до всіх елементів матриці А :
З отриманих чисел складемо матрицю (причому алгебраїчні доповнення до рядків матриці А запишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:
Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):
Рішення систем лінійних рівнянь методом звичайних Жорданових винятків
Нехай дана довільна (не обов’язково квадратна) система лінійних рівнянь:
(1.16)
Потрібно знайти рішення системи, тобто такий набір змінних, який задовольняє всім равенствам системи (1.16). У загальному випадку система (1.16) може мати не тільки одне рішення, а й безліч рішень. Вона може так само взагалі не мати рішень.
При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий зі шкільного курсу метод виключення невідомих, який ще називається методом звичайних Жорданових винятків. Суть даного методу полягає в тому, що в одному з рівнянь системи (1.16) одна з змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється в інші рівняння системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і на одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого виражалася змінна, запам’ятовується.
Цей процес повторюється до тих пір, поки в системі не залишиться одне останнє рівняння. В процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися в вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння з системи виключаються, так як вони виконуються при будь-яких значеннях змінних і, отже, не впливають на рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яке не може виконуватися ні при яких значеннях змінних (наприклад), то ми робимо висновок, що система не має рішення.
Якщо в ході рішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з решти в ньому змінних. Якщо в останньому рівнянні залишилася тільки одна змінна, то вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще й інші змінні, то вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий «зворотний хід». Знайдену змінну підставляють останнім запомненное рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють в передостаннє запомненное рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запомненного рівняння.
В результаті ми отримуємо рішення системи. Дане рішення буде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші будуть залежати від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожного набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, що дозволяють знайти рішення системи в залежності від того чи іншого набору параметрів, називаються спільним рішенням системи.
Після запам’ятовування першого рівняння і приведення подібних членів в другому і третьому рівнянні ми приходимо до системи:
висловимо y з другого рівняння і підставимо його в перше рівняння:
Запам’ятаємо друге рівняння, а з першого знайдемо z :
Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо y і z . Для цього спочатку підставимо останнім запомненное рівняння, звідки знайдемо y :
.
Потім підставимо і на початку запомненное рівняння , Звідки знайдемо x :
Завдання 1.12. Вирішити систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:
. (1.17)
Рішення. Висловимо з першого рівняння змінну x і підставимо її в друге і третє рівняння:
.
Запам’ятаємо перше рівняння
У даній системі перше і друге рівняння суперечать один одному. Дійсно, висловлюючи y , Отримаємо, що 14 = 17. Дане рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x , y , і z . Отже, система (1.17) несумісна, тобто не має рішення.
Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.
Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) всього лише одним вільним членом.
Завдання 1.13. Вирішити систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:
. (1.18)
Рішення. Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну x і підставимо її в друге і третє рівняння:
.
Запам’ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени в другому і третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:
висловлюючи y з першого рівняння і підставляючи його в друге рівняння , Ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке не впливає на рішення системи, і, отже, його можна з системи виключити.
В останньому після успішної реєстрації рівність змінну z вважатимемо параметром.Вважаємо. тоді
підставами y і z на початку запомненное рівність і знайдемо x :
.
Таким чином, система (1.18) має незліченну безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t :
(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) і т. Д. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).
У тому випадку, коли вихідна система (1.16) має досить велику кількість рівнянь і невідомих, вказаний метод звичайних Жорданових винятків представляється громіздким. Однак це не так. Досить вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці в загальному вигляді і оформити рішення задачі у вигляді спеціальних Жорданових таблиць.
Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):
, (1.20)
де x j – незалежні (шукані) змінні, a ij – постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m ; j = 1, 2,…, n ). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m ) Можуть бути як змінними (залежними), так і константами. Потрібно знайти розв’язання системи методом виключення невідомих.
Розглянемо наступну операцію, звану в подальшому «одним кроком звичайних Жорданових винятків». З довільного (r -го) рівності висловимо довільну змінну (x s ) І підставимо в усі інші рівності. Зрозуміло, це можливо тільки в тому випадку, коли a rs ¹ 0. Коефіцієнт a rs називається що дозволяє (іноді напрямних або головним) елементом.
Ми отримаємо таку систему:
. (1.21)
з s -го рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s (Після того, як будуть знайдені інші змінні). S -я рядок запам’ятовується і надалі з системи виключається. Частина, що залишилася система буде містити на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.
Обчислимо коефіцієнти отриманої системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r -го рівняння, яке після виразу змінної x s через інші змінні буде виглядати наступним чином:
Таким чином, нові коефіцієнти r -го рівняння обчислюються за такими формулами:
(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij (i ¹ r ) Довільного рівняння. Для цього підставимо виражену в (1.22) змінну x s в i -е рівняння системи (1.20):
Після приведення подібних членів, отримаємо:
(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, за якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (за винятком r -го рівняння):
(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь методом звичайних Жорданових винятків оформляється у вигляді таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «Жорданових».
Так, задачі (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:
x 1 | x 2 | … | x j | … | x s | … | x n |
y 1 = | a 11 | a 12 | a 1j | a 1s | a 1n | ||
………………………………………………………………….. | |||||||
y i = | a i 1 | a i 2 | a ij | a is | a in | ||
………………………………………………………………….. | |||||||
y r = | a r 1 | a r 2 | a rj | a rs | a rn | ||
…………………………………………………………………. | |||||||
y n = | a m 1 | a m 2 | a mj | a ms | a mn |
Жорданова таблиця 1.1 містить лівий титульний стовпець, в який записують праві частини системи (1.20) і верхню заголовну рядок, в яку записують незалежні змінні.
Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю А на матрицю, що складається з елементів верхньої заголовної рядки, то вийде матриця, що складається з елементів лівого заголовного стовпця. Тобто, по суті, жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь:. Системі (1.21) при цьому відповідає наступна жорданова таблиця:
x 1 | x 2 | … | x j | … | y r | … | x n |
y 1 = | b 11 | b 12 | b 1 j | b 1 s | b 1 n | ||
………………………………………………………………….. | |||||||
y i = | b i 1 | b i 2 | b ij | b is | b in | ||
………………………………………………………………….. | |||||||
x s = | b r 1 | b r 2 | b rj | b rs | b rn | ||
…………………………………………………………………. | |||||||
y n = | b m 1 | b m 2 | b mj | b ms | b mn |
дозволяє елемент a rs ми будемо виділяти жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку Жорданових винятків дозволяє елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить дозволяє елемент, називають роздільною рядком. Стовпець, що містить дозволяє елемент, називають що дозволяє стовпцем. При переході від даної таблиці до наступної таблиці одна змінна (x s ) З вірніше заголовної рядки таблиці переміщається в лівий титульний стовпець і, навпаки, один з вільних членів системи (y r ) З лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхню заголовну рядок.
Наведемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів при переході від жорданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що випливає з формул (1.23) і (1.25).
1.Дозволяє елемент замінюється зворотним числом:
2. Інші елементи роздільної рядка діляться на дозволяючий елемент і змінюють знак на протилежний:
3. Інші елементи дозволяє стовпця діляться на дозволяючий елемент:
4. Елементи, що не потрапили в роздільну рядок і дозволяє стовпець, перераховуються за формулами:
Остання формула легко запам’ятовується, якщо зауважити, що елементи, складові дріб , Знаходяться на перетині i -ої і r -ої рядків і j -го і s -го стовпців (роздільною рядки, дозволяє стовпця і тієї рядки і стовпці, на перетині яких знаходиться перераховується елемент). Точніше, при запам’ятовуванні формули можна використовувати наступну діаграму:
Здійснюючи перший крок Жорданових винятків, як дозволяє елемента можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований в шпальтах x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не рівні нулю). Не слід тільки вибирати дозволяє елемент в останньому стовпці, тому що потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5. Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінної x 3 в третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяє елемент показаний жирним шрифтом). При переході до таблиці 1.4 змінна x 3 з верхньої заголовної рядка міняється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.
рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам’ятавши, виключити з таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхній заголовної рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому складові кожного рівняння 0 ·b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти годі й обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам’ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленої рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 в якості дозволяє елемента b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам’ятовуємо перший рядок і виключаємо її з таблиці разом з четвертим стовпчиком (з нулем нагорі).
Таблиця 1.5 Таблиця 1.6
З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = – 3 + 2x 5 .
Послідовно підставляючи вже знайдені змінні в успішної реєстрації рядки, знаходимо інші змінні:
Таким чином, система має незліченну безліч рішень. змінної x 5, можна надавати довільні значення. Дана змінна виступає в ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи і знайшли її спільне рішення:
надаючи параметру t різні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (- 3; – 1; – 2; 4; 0).
У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, а також метод почленного складання рівнянь системи. Всім, хто зайшов на сайт через цю сторінку рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал занадто простим, але по ходу рішення систем лінійних рівнянь я зробив ряд дуже важливих зауважень і висновків, що стосуються вирішення математичних задач в цілому.
А зараз ми розберемо правило Крамера, а також рішення системи лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці (матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вищевказаними способами.
Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Навіщо? – Адже найпростішу систему можна вирішити шкільним методом, методом почленного складання!
Справа в тому, що нехай іноді, але зустрічається таке завдання – вирішити систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, більш простий приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для більш складного випадку – системи трьох рівнянь з трьома невідомими.
Крім того, існують системи лінійних рівнянь з двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!
Розглянемо систему рівнянь
На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи .
Якщо, то система має єдине рішення, і для знаходження коренів ми повинні обчислити ще два визначника:
і
На практиці вищевказані визначники також можуть позначатися латинською літерою.
Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,
Вирішити систему лінійних рівнянь
Рішення : Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, в правій частині присутні десяткові дроби з коми. Кома – досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, цю систему я взяв з економетричної завдання.
Як вирішити таку систему? Можна спробувати виразити одну змінну через іншу, але в цьому випадку напевно вийдуть страшні наворочені дробу, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення буде виглядати просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті ж самі дробу.
Що робити? У подібних випадках і приходять на допомогу формули Крамера.
;
;
Обидва кореня мають нескінченними хвостами, і знайдені наближено, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.
Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак, є один нюанс. Коли використовуєте даний метод, обов’язковим фрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «, Значить, система має єдине рішення» . В іншому випадку рецензент може Вас покарати за неповагу до теоремі Крамера.
Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення в ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, які знаходяться в правих частинах.
Відповідь уявити в звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.
Це приклад для самостійного рішення (приклад чистового оформлення і відповідь в кінці уроку).
Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь з трьома невідомими:
Знаходимо головний визначник системи:
Якщо, то система має нескінченно багато рішень або несумісна (не має рішень). У цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гаусса.
Якщо, то система має єдине рішення і для знаходження коренів ми повинні обчислити ще три визначника:
, ,
І, нарешті, відповідь розраховується за формулами:
Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо по стовпцях головного визначника.
Вирішити систему за формулами Крамера.
Рішення : Вирішимо систему за формулами Крамера.
, Значить, система має єдине рішення.
відповідь : .
Власне, тут знову коментувати особливо нічого, з огляду на те, що рішення проходить по готовим формулами. Але є пара зауважень.
Буває так, що в результаті обчислень виходять «погані» нескоротні дроби, наприклад:.
Я рекомендую наступний алгоритм «лікування». Якщо під рукою немає комп’ютера, чинимо так:
1) Можливо, допущена помилка в обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганий» дробом, відразу необхідно перевірити, правильно чи переписано умова . Якщо умова переписано без помилок, то потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).
2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущена помилка в умові завдання. В цьому випадку спокійно і УВАЖНО прорешіваем завдання до кінця, а потім обов’язково робимо перевірку і оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дрібного відповіді – заняття неприємне, але зате буде обеззброюючий аргумент для викладача, який ну дуже любить ставити мінус за всяку бяку на кшталт. Як справлятися з дробом, детально розписано у відповіді для Прімера 8.
Якщо під рукою є комп’ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на самому початку уроку.До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку вирішення), Ви відразу будете бачити проміжний крок, на якому допустили помилку! Цей же калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричних методом.
Зауваження друге. Час від часу зустрічаються системи в рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад:
Тут в першому рівнянні відсутня змінна, в другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно і УВАЖНО записати головний визначник:
– на місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати по тому рядку (стовпцю), в якій знаходиться нуль, так як обчислень виходить помітно менше.
Вирішити систему за формулами Крамера.
Це приклад для самостійного рішення (зразок чистового оформлення і відповідь в кінці уроку).
Для випадку системи 4 рівнянь з 4 невідомими формули Крамера записуються по аналогічним принципам. Живий приклад можна подивитися на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника – п’ять визначників 4-го порядку цілком решабельни. Хоча завдання вже дуже нагадує черевик професора на грудях у студента-щасливчика.
Рішення системи за допомогою оберненої матриці
Метод оберненої матриці – це, по суті, окремий випадок матричного рівняння (Див. Приклад №3 зазначеного уроку).
Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю і виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть дані по ходу пояснень.
Вирішити систему з матричним методом
Рішення : Запишемо систему в матричної формі:
, де
Будь ласка, подивіться на систему рівнянь і на матриці. За яким принципом записуємо елементи в матриці, думаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби в рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях в матриці потрібно було б поставити нулі.
Обернену матрицю знайдемо за формулою:
, Де – транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.
Спочатку розбираємося з визначником:
Тут визначник розкритий по першому рядку.
Увага! Якщо, то зворотної матриці не існує, і вирішити систему матричних методом неможливо. В цьому випадку система вирішується методом виключення невідомих (методом Гаусса).
Тепер потрібно обчислити 9 миноров і записати їх в матрицю мінорів
Довідка: Корисно знати зміст подвійних підрядкових індексів в лінійної алгебри. Перша цифра – це номер рядка, в якій знаходиться цей елемент. Друга цифра – це номер стовпця, в якому знаходиться даний елемент:
Тобто, подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці