Рішення тотожностей онлайн. рівняння
Пропонований вашій увазі безкоштовний калькулятор своєму розпорядженні багатий арсенал можливостей для математичних обчислень. Він дозволяє використовувати онлайн калькулятор в різних сферах діяльності: освітньої , професійної і комерційної . Звичайно, застосування калькулятора онлайн особливо популярно у студентів і школярів , Він значно полегшує їм виконання самих різних розрахунків.Разом з тим калькулятор може стати корисним інструментом в деяких напрямках бізнесу і для людей різних професій. Безумовно, необхідність застосування калькулятора в бізнесі або трудової діяльності визначається перш за все видом самої діяльності. Якщо бізнес і професія пов’язані з постійними розрахунками і обчисленнями, то варто випробувати електронний калькулятор і оцінити ступінь його корисності для конкретного справи.Даний онлайн калькулятор може
- Коректно виконувати стандартні математичні функції, записані одним рядком типу – 12*3-(7/2) і може обробляти числа більше, чемсчітаем величезні числа в онлайн калькулятореМи навіть не знаємо, як таке число назвати правильно (тут 34 знака і це зовсім не межа ).
- Крім тангенса , косинуса , синуса та інших стандартних функцій – калькулятор підтримує операції з розрахунку арктангенса , арккотангенса та інших.
- Доступні в арсеналі логарифми , факторіали та інші цікаві функції
- Даний онлайн калькулятор вміє будувати графіки .
Як працювати з Математичним калькулятором
1. Дисплей (екран калькулятора) відображає введене вираз і результат його розрахунку звичайними символами, як ми пишемо на папері. Це поле призначене просто для перегляду поточної операції. Запис відображається на дисплеї під час набору математичного виразу в рядку введення.2. Поле введення виразу можна записувати вирази, яке потрібно обчислити. Тут слід зазначити, що математичні символи, використовувані в комп’ютерних програмах, не завжди збігаються з тими, які зазвичай ми застосовуємо на папері. В огляді кожної функції калькулятора ви знайдете правильне позначення конкретної операції і приклади розрахунків в калькуляторі. На цій сторінці нижче наводиться перелік всіх можливих операцій в калькуляторі, також із зазначенням їх правильного написання.3. Панель інструментів – це кнопки калькулятора, які замінюють ручне введення математичних символів, що позначають відповідну операцію. Деякі кнопки калькулятора (додаткові функції, конвертер величин, рішення матриць і рівнянь, графіки) доповнюють панель задач новими полями, де вводяться дані для конкретного розрахунку. Поле «History» містить приклади написання математичних виразів, а також ваші шість останніх записів.Зверніть увагу, при натисканні кнопок виклику додаткових функцій, конвертера величин, рішення матриць і рівнянь, побудови графіків вся панель калькулятора зміщується вгору, закриваючи частину дисплея. Заповніть поля та натисніть клавішу “I” (на малюнку виділена червоним кольором), щоб побачити дисплей в повний розмір.4.Цифрова клавіатура містить цифри і знаки арифметичних дій. Кнопка «С» видаляє всю запис в поле вводу виразу. Щоб видаляти символи по одному, потрібно використовувати стрілку праворуч від рядка введення.Намагайтеся завжди закривати дужки в кінці виразу. Для більшості операцій це некритично, калькулятор online розрахує все вірно. Однак, в деяких випадках можуть виникати неточності. Наприклад, при зведенні в дробову ступінь незакриті дужки приведуть до того, що знаменник дробу в показнику ступеня піде в знаменник підстави. На дисплеї закриває дужка позначена блідо-сірим кольором, її потрібно закрити, коли запис закінчена.клавіша | символ | операція |
---|---|---|
pi | pi | Постійна pi |
е | е | число Ейлера |
% | % | відсоток |
() | () | Відкрити / Закрити дужки |
, | , | кома |
sin | sin (?) | синус кута |
cos | cos (?) | косинус |
tan | tan (y) | тангенс |
sinh | sinh () | гіперболічний синус |
cosh | cosh () | гіперболічний косинус |
tanh | tanh () | гіперболічний тангенс |
sin -1 | asin () | зворотний синус |
cos -1 | acos () | зворотний косинус |
tan -1 | atan () | зворотний тангенс |
sinh -1 | asinh () | Зворотний гіперболічний синус |
cosh -1 | acosh () | Зворотний гіперболічний косинус |
tanh -1 | atanh () | Зворотний гіперболічний тангенс |
x 2 | ^2 | Зведення в квадрат |
х 3 | ^3 | Піднесення до куб |
x y | ^ | Зведення в ступінь |
10 x | 10^() | Піднесення до степеня по підставі 10 |
e x | exp () | Піднесення до степеня числа Ейлера |
vx | sqrt (x) | Квадратний корінь |
3 vx | sqrt3 (x) | Корінь 3-го ступеня |
y vx | sqrt (x, y) | витяг кореня |
log 2 x | log2 (x) | двійковий логарифм |
log | log (x) | десятковий логарифм |
ln | ln (x) | натуральний логарифм |
log y x | log (x, y) | логарифм |
I / II | Згортання / Виклик додаткових функцій | |
Unit | конвертер величин | |
Matrix | матриці | |
Solve | Рівняння і системи рівнянь | |
побудова графіків | ||
Додаткові функції (дзвінок, натиснувши клавішу II) | ||
mod | mod | Розподіл із залишком |
! | ! | Факторіал |
i / j | i / j | уявна одиниця |
Re | Re () | Виділення цілої дійсної частини |
Im | Im () | Виняток дійсної частини |
| X | | abs () | Модуль числа |
Arg | arg () | аргумент функції |
nCr | ncr () | біномінальної коефіцієнт |
gcd | gcd () | НОД |
lcm | lcm () | НОК |
sum | sum () | Сумарне значення всіх рішень |
fac | factorize () | Розклад на прості множники |
diff | diff () | диференціювання |
Deg | градуси | |
Rad | радіани |
Часто потрібно знайти суму квадратів (x 1 2 + x 2 + 2) або суму кубів (x 1 3+ x 2 3) коренів квадратного рівняння, рідше – суму зворотних значень квадратів коренів або суму арифметичних квадратних коренів з коренів квадратного рівняння:
Допомогти в цьому може теорема Вієта:x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q. 1) суму квадратів коренів рівняння x 2 + px + q = 0; 2) суму кубів коренів рівняння x 2 + px + q = 0. 1) вираз x 1 2 + x 2 + 2 вийде, якщо звести в квадрат обидві частини рівності x 1 + x 2 = -p; (X 1 + x 2) 2 = (- p) 2; розкриваємо дужки: x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 = p 2; висловлюємо шукану суму: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2x 1 x 2 = p 2 -2q. Ми отримали корисне рівність: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. 2) вираз x 1 3+ x 2 3 представимо за формулою суми кубів у вигляді:(X 1 3+ x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = – p · (p 2 -2q-q) = – p · (p 2 -3q).Ще одна корисна рівність: x 1 3+ x 2 +3 = -p · (p 2 -3q). 3) x 2 -3x-4 = 0. Чи не вирішуючи рівняння, обчисліть значення виразу x 1 2 + x 2 + 2 .x 1 + x 2 = -p = 3, а твір x 1 ∙ x 2 = q = в прикладі 1 ) Рівність:x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. У нас -p = X 1 + x 2 =3 → p 2 = 3 2 = 9; q = x 1 x 2 =-4. тоді x 1 2 + x 2 + 2 = 9-2 · (-4) = 9 + 8 = 17. відповідь: x 1 2 + x 2 + 2 = 17. 4) x 2 -2x-4 = 0. Обчислити: x 1 3+ x 2 3.По теоремі Вієта сума коренів цього наведеного квадратного рівняння x 1 + x 2 = -p = 2, а твір x 1 ∙ x 2 = q = -4.Застосуємо отримане нами (в прикладі 2 ) Рівність: x 1 3+ x 2 +3 = -p · (p 2 -3q) = 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.Питання: а якщо нам дано не наведене квадратне рівняння? Відповідь: його завжди можна «привести», розділивши почленно на перший коефіцієнт.5) 2x 2 -5x-7 = 0. Чи не вирішуючи, обчислити: x 1 2 + x 2 + 2 .Рішення. Нам дано повне квадратне рівняння. Розділимо обидві частини рівності на 2 (перший коефіцієнт) і отримаємо наведене квадратне рівняння: x 2 -2,5x-3,5 = 0. По теоремі Вієта сума коренів дорівнює 2,5 ; твір коренів одно -3,5 .Вирішуємо так само, як приклад 3) , Використовуючи рівність: x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q = 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25. відповідь: x 1 2 + x 2 + 2 =13,25. 6) x 2 -5x-2 = 0. знайти:Перетворимо цю рівність і, замінивши по теоремі Вієта суму коренів через -p , А твір коренів через q , Отримаємо ще одну корисну формулу. При виведенні формули використовували рівність 1): x 1 2 + x 2 2 = p 2 -2q. У нашому прикладі x 1 + x 2 = -p = 5; x 1 ∙ x 2 = q = -2. Підставляємо ці значення в отриману формулу:
7) x 2 -13x + 36 = 0. знайти:Перетворимо цю суму і отримаємо формулу, по якій можна буде знаходити суму арифметичних квадратних коренів з коренів квадратного рівняння.У нас x 1 + x 2 = -p = 13; x 1 ∙ x 2 = q = 36 . Підставляємо ці значення в виведену формулу:Порада : Завжди перевіряйте можливість знаходження коренів квадратного рівняння по невластивому способу, адже 4 розглянуті корисні формули дозволяють швидко виконати завдання, перш за все, в тих випадках, коли дискримінант – «незручне» число. У всіх простих випадках знаходите коріння і оперуйте ними. Наприклад, в останньому прикладі підберемо коріння по теоремі Вієта: сума коренів повинна дорівнювати 13 , А твір коренів 36 . Що це за числа? Звичайно, 4 і 9. А тепер рахуйте суму квадратних коренів з цих чисел: 2+3=5. Ось так то!I. Теорема Вієта для наведеного квадратного рівняння.Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0 дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену:x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 = q. Знайти корені наведеного квадратного рівняння, використовуючи теорему Вієта. Приклад 1) x 2 -x-30 = 0. Це наведене квадратне рівняння ( x 2 + px + q = 0) , Другий коефіцієнт p = -1 , А вільний член q = -30. Спочатку переконаємося, що дане рівняння має коріння, і що коріння (якщо вони є) будуть виражатися цілими числами. Для цього достатньо, щоб дискримінант був повним квадратом цілого числа.знаходимо дискримінант D = B 2 – 4ac = (- 1) 2 -4 ∙ 1 ∙ (-30) = 1 + 120 = 121 =11 2 .Тепер за теоремою Вієта сума коренів повинна бути дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, тобто (-p ), А добуток дорівнює вільному члену, тобто (q ). тоді:x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙ x 2 = -30. Нам треба підібрати такі два числа, щоб їх твір дорівнювало -30 , А сума – одиниці . це числа -5 і 6 . Відповідь: -5; 6. Приклад 2) x 2 + 6x + 8 = 0. Маємо наведене квадратне рівняння з другим коефіцієнтом р = 6 і вільним членом q = 8 . Переконаємося, що є цілочисельні корені. знайдемо дискримінант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискримінант D 1 є повним квадратом числа 1 , Значить, коріння даного рівняння є цілими числами. Підберемо коріння по теоремі Вієта: сума коренів дорівнює -р = -6 , А твір коренів одно q = 8 . це числа -4 і -2 .Насправді: -4-2 = -6 = -р; -4 ∙ (-2) = 8 = q. Відповідь: -4; -2. Приклад 3) x 2 + 2x-4 = 0 . У цьому наведеному квадратному рівнянні другий коефіцієнт р = 2 , А вільний член q = -4 . знайдемо дискримінант D 1 , Так як другий коефіцієнт – парне число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискримінант не є повним квадратом числа, тому, робимо висновок : коріння даного рівняння не є цілими числами і знайти їх по теоремі Вієта можна. Значить, вирішимо дане рівняння, як зазвичай, за формулами (в даному випадку за формулами). отримуємо:Приклад 4). Складіть квадратне рівняння по його корінню, якщо x 1 = -7, x 2 = 4. Рішення. Шукане рівняння запишеться у вигляді: x 2 + px + q = 0 , Причому, на підставі теореми Вієта -p = x 1 + x 2 =-7+4=-3 → p = 3; q = x 1 ∙ x 2 =-7∙4=-28 . Тоді рівняння набуде вигляду: x 2 + 3x-28 = 0. Приклад 5). Складіть квадратне рівняння по його корінню, якщо:
II. теорема Вієта для повного квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0. Сума коренів дорівнює мінус b , Поділеній на а , Твір коренів одно з , Поділеній на а: x 1 + x 2 = -b / a; x 1 ∙ x 2 = c / a. Приклад 6). Знайти суму коренів квадратного рівняння 2x 2 -7x-11 = 0 .Переконуємося, що дане рівняння буде мати коріння. Для цього достатньо скласти вираз для дискримінанту, і, не обчислюючи його, просто переконатися, що дискримінант більше нуля. D =7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А тепер скористаємося теоремою Вієта для повних квадратних рівнянь.Приклад 7) . Знайдіть добуток коренів квадратного рівняння 3x 2 + 8x-21 = 0. знайдемо дискримінант D 1 , Так як другий коефіцієнт (8 ) Є парним числом. D 1 =4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратне рівняння має 2 кореня, по теоремі Вієта твір коренів x 1 ∙ x 2 = c: a =-21:3=-7. I. ax 2 + bx + c = 0 – квадратне рівняння загального виглядудискримінант D = b 2 – 4ac. якщо D> 0 , То маємо два дійсних кореня:якщо D = 0 , То маємо єдиний корінь (або два рівних кореня) х = -b / (2a) .Якщо D 0; 2 дійсних кореня.D = b 2 – 4ac = 21 2 – 4 ∙ 4 ∙ 5 = 441-80 = 361 = 19 2> 0; 2 дійсних кореня.II. ax 2 + bx + c = 0 – квадратне рівняння приватного виду при парному другому
III. ax 2 + bx + c = 0 – квадратне рівняння приватного виду за умови : A-b + c = 0. Перший корінь завжди дорівнює мінус одиниці, а другий корінь дорівнює мінус з , Поділеній на а :тоді x 1 = -1, x 2 = -c / a = -7 / 2 = -3,5. відповідь: -1; -3,5. IV. ax 2 + bx + c = 0 – квадратне рівняння приватного виду за умови: A + b + c = 0. Перший корінь завжди дорівнює одиниці, а другий корінь дорівнює з , Поділеній на а :тоді x 1 = 1, x 2 = c / a = 7/2 = 3,5. відповідь: 1; 3,5. Сторінка 1 з 1 1На етапі підготовки до заключного тестування учням старших класів необхідно підтягнути знання з теми «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам’ятати формули і зрозуміти принцип рішення таких рівнянь. Навчившись справлятися з даним видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали при здачі ЄДІ з математики.
Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом зі «Школково»!
При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку потрібних для вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації по темі в Інтернеті займає тривалий час.Освітній портал «Школково» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо абсолютно новий метод підготовки до підсумкового тестування. Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини в знаннях і приділити увагу саме тих завдань, які викликають найбільші труднощі.Викладачі «Школково» зібрали, систематизували і виклали весь необхідний для успішної здачі ЄДІ матеріал в максимально простій і доступній формі.Основні визначення і формули представлені в розділі «Теоретична довідка».Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте представлені на даній сторінці приклади показових рівнянь з рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього приступайте до виконання завдань в розділі «Довідники». Ви можете почати з найлегших завдань або відразу перейти до вирішення складних показових рівнянь з декількома невідомими або. База вправ на нашому сайті постійно доповнюється і оновлюється.Ті приклади з показниками, які викликали у вас труднощі, можна додати в «Вибране». Так ви можете швидко знайти їх і обговорити рішення з викладачем.Щоб успішно здати ЄДІ, займайтеся на порталі «Школково» кожен день!Квадратні рівняння вивчають в 8 класі, тому нічого складного тут немає. Уміння вирішувати їх абсолютно необхідно.Квадратне рівняння – це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c – довільні числа, причому a ≠ 0.Перш, ніж вивчати конкретні методи рішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно розділити на три класи:
- Не мають коренів;
- Мають рівно один корінь;
- Мають два різних кореня.
дискримінант
Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискриминант – це просто число D = b 2 – 4ac.Цю формулу треба знати напам’ять. Звідки вона береться – зараз неважливо. Важливо інше: по знаку дискримінанту можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:
- Якщо D 0, коренів буде два.
Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:
- x 2 – 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 – 6x + 9 = 0.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 – 4 · 1 · 12 = 64 – 48 = 16Отже, дискриминант позитивний, тому рівняння має два різних кореня. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 – 4 · 5 · 7 = 9 – 140 = -131.Дискримінант негативний, коренів немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0.Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.Зверніть увагу, що для кожного рівняння були виписані коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно – зате ви не переплутати коефіцієнти і не допустите дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість або якість.До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не буде потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви будете виконувати в голові. Більшість людей починають робити так десь після 50-70 вирішених рівнянь – загалом, не так і багато.
Коріння квадратного рівняння
Тепер перейдемо, власне, до вирішення. Якщо дискримінант D> 0, коріння можна знайти за формулами:Основна формула коренів квадратного рівнянняКоли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул – вийде одне і те ж число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D 0 ⇒ рівняння має два кореня. Знайдемо їх:Друге рівняння:15 – 2x – x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 – 4 · (-1) · 15 = 64.D> 0 ⇒ рівняння знову має два кореня. знайдемо їхНарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 – 4 · 1 · 36 = 0.D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використовувати будь-яку формулу. Наприклад, першу:Як видно з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули і вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці в формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок – і дуже скоро позбудетеся від помилок.
Неповні квадратні рівняння
Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. наприклад:Нескладно помітити, що в цих рівняннях відсутня одна з складових. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: в них навіть не буде потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 або c = 0, тобто коефіцієнт при змінній x або вільний елемент дорівнює нулю.Зрозуміло, можливий зовсім важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. У цьому випадку рівняння приймає вид ax 2 = 0. Очевидно, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.Розглянемо інші випадки. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Трохи перетворимо його:Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (-c / a) ≥ 0. Висновок:
- Якщо в неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (-c / a) ≥ 0, коренів буде два. Формула дана вище;
- Якщо ж (-c / a) квадратне відносно будь-якої змінної .
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу з сум. Виділимо повні квадрати:(X 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;(X – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так як x і y – цілі числа, то їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, яка дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:
(X – y) 2 = 36 і (y + 2) 2 = 1(X – y) 2 = 1 і (y + 2) 2 = 36.Вирішуючи ці системи і враховуючи, що x і y – негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Трохи практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.Залишилися питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння з двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтеся.
Перший урок – безкоштовно! сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов’язкове.